DEMOSTRACION DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA INTEGRAL Y UNA DERIVADA

1. Teorema de la integral de la transformada
   
   Siempre y cuando exista
   
2. Teorema de la derivada de la transformada 
    
3. Teorema
   

   Sean f(t) una función seccionalmente continua y de orden exponencial, cuya derivada también es así.
   Entonces
   

   Demostración
   Recurriendo a la definición de la transformada de Laplace tenemos:
   
   Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las propiedades de los límites:
   
   Integrando por partes y tomando:
   
   por tanto:
   
   y la integral anterior nos queda:
   
   Avanzando en los cálculos del segundo miembro:
   
   Asi:
   (Ec.I)
   Como la función f(t) es seccionalmente continua y de orden exponencial:
   
   y además
   
   Por tanto la ecuación (I) queda:
   
   Y por consiguiente: